2006江西高考数学第9题

  如图
双曲线x^2/9-y^2/16=1的左右焦点分别为F1(-5,0)、F2(5,0)
左右顶点分别为(-3,0)、(3,0)
所以，圆(x+5)^2+y^2=4正好是以F1为圆心，半径为2的圆【且它干好与双曲线的左支相切】
圆(x-5)62+y^2=1是以F2为圆心，半径为1的圆
要保证|PM|-|PN|最大，则当|PM|最大、且|PN|最小时其值必定最大
点M为圆F1上的点，要使得|PM|最大，则点M为PF1的连线与圆F1远端的交点时最大，
此时：|PM|=|PF1|+|F1M|=|PF1|+r1=|PF1|+2
同理，点N为圆F2上的点，要使得|PN|最小，则点N为PF2的连线与圆F2近端的交点时最小。
此时，|PN|=|PF2|-|F2N|=|PF2|-r2=|PF2|-1
所以：
|PM|-|PN|=(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3
而由双曲线的定义有：|PF1|-|PF2|=2a=6
所以，|PM|-|PN|有最大值=6+3=9
答案：D。